Razlika između određenih i neodređenih integrala

Račun je važna grana matematike, a diferencijacija igra presudnu ulogu u računu. Inverzni postupak diferencijacije poznat je pod nazivom integracija, a inverzni kao integral, ili jednostavno rečeno, inverzna diferencijacija daje integral. Na temelju rezultata koje oni daju integrali su podijeljeni u dvije klase, odnosno na definitivne i neodređene integrale.

Određeni integral



1



Definitivni integralf (x)je BROJ i predstavlja površinu ispod krivuljef (x)izx = adox = b.

Određeni integral ima gornju i donju granicu za integrale i naziva se definitivnim, jer na kraju problema imamo broj - to je definitivan odgovor.



Neodređeni integral

2

Neodređeni integral f (x) je FUNKCIJA i odgovara na pitanje: „Koju funkciju daje diferenciranof (x)? '



S neodređenim integralom nema gornjih i donje granice integrala ovdje , a ono što ćemo dobiti je odgovor koji još uvijek postojix'S u njemu i također će imati konstantu (obično označenu saC) u tome.

Neodređeni integral obično daje opće rješenje diferencijalne jednadžbe.

Neodređeni integral više je općeniti oblik integracije i može se protumačiti kao anti-derivat razmatrane funkcije.

Pretpostavimo diferencijaciju funkcijeFdovodi do druge funkcijef, a integracija f daje integral. Simbolično je ovo zapisano kao

F (x) = ∫ƒ (x) dx

ili

F = ∫ƒ dx

gdje obojeFiƒsu funkcijex, iFje diferenciran. U gornjem obliku naziva se Reimannov integral i rezultirajuća funkcija prati proizvoljnu konstantu.

Neodređeni integral često stvara obitelj funkcija; dakle, integral je neodređen.

Integrali i proces integracije su na srce rješavanja diferencijalnih jednadžbi. Međutim, za razliku od koraka u diferencijaciji, koraci u integraciji ne slijede uvijek jasnu i standardnu ​​rutinu. Povremeno vidimo da se rješenje ne može izraziti eksplicitno u smislu elementarne funkcije. U tom se slučaju analitičko rješenje često daje u obliku neodređenog integrala.

Temeljni teorem računa

Definitivni i neodređeni integral povezani su temeljnim teoremom računa na sljedeći način: Da bi se izračunaoodređeni integral, naćineodređeni integral(također poznat i kao anti-derivat) funkcije i procijenite na krajnjim točkamax = aix = b.

Razlika između određenih i neodređenih integrala bit će vidljiva nakon što procijenimo integrale za istu funkciju.

Razmotrimo sljedeći integral:

3

U REDU. Učinimo oboje i uvidimo razliku.

Za integraciju u indeks moramo dodati jedan što nas dovodi do sljedećeg izraza:

4

U ovom trenutkuCje za nas samo konstanta. Dodatne informacije potrebne su u problemu kako bi se utvrdila precizna vrijednostC.

Procijenimo isti integral u njegovom određenom obliku, tj. S uključenom gornjom i donjom granicom.

5

Grafički gledano, sada računamo područje ispod krivuljef (x) = y3izmeđuy = 2iy = 3.

Prvi korak u ovom vrednovanju jednak je neodređenom integralnom vrednovanju. Jedina je razlika što ovaj put ne dodajemo konstantuC.

Izraz u ovom slučaju izgleda kako slijedi:

6

Ovo zauzvrat dovodi do:

7

U osnovi smo u izrazu zamijenili 3, a zatim 2 i dobili razliku između njih.

To je definitivna vrijednost za razliku od upotrebe konstanteCranije.

Istražimo detaljnije konstantni faktor (s obzirom na neodređeni integral).

Ako je diferencijal odi3je3y2, onda

3y2dy = y3

Međutim,3y2mogao biti diferencijal mnogih izraza od kojih neki uključujui3-5,i3+7, itd. To implicira da preokret nije jedinstven jer se konstanta ne uzima u obzir tijekom postupka.

Dakle, općenito,3y2je razlika odi3+ CgdjeCje bilo koja konstanta. Inače, C je poznat kao'Konstanta integracije'.

Ovo zapisujemo kao:

3y2.dx = y3+ C

Tehnike integracije za neodređeni integral, poput pretraživanja tablice ili Risch integracije, mogu dodati nove diskontinuitete tijekom procesa integracije. Ovi novi diskontinuiteti pojavljuju se jer anti-derivati ​​mogu zahtijevati uvođenje složenih logaritama.

Složeni logaritmi imaju skok u diskontinuitetu kad argument prelazi negativnu stvarnu os, a algoritmi integracije ponekad ne mogu pronaći prikaz gdje se ovi skokovi poništavaju.

Ako se određeni integral procjenjuje prvo izračunavanjem neodređenog integrala, a zatim zamjenom granica integracije u rezultat, moramo biti svjesni da neodređena integracija može proizvesti diskontinuitete. Ako se dogodi, dodatno moramo istražiti diskontinuitete u intervalu integracije.

Popularni Postovi

Top 30 vijetnamskih ratnih knjiga koje ćete pročitati ove zime

Američki ratovi nadahnuli su neke od najboljih svjetskih književnosti, a ni Vijetnamski rat nije iznimka

Razlika između laganog sirupa agave i sirupa jantarne agave

Lagani sirup od agave protiv sirupa od jantarne agave Ako želite nanijeti zaslađivače na obroke, ali već ste se zasitili komercijalno proizvedenih zaslađivača,

Razlika između nadzora i inspekcije

Uvjeti inspekcije i nadzora često se koriste naizmjenično u mnogim aplikacijama. Međutim, postoji značajna razlika između pojmova. Također,

Obrnuti žig zračne pošte - bočna traka: Značajka povijesti zrakoplovstva u svibnju ’94

Slučaj obrnutog pečata zračne pošte Iako poteškoće s kojima se suočio poručnik George L. Boyle nisu primile značajniju pozornost u

Razlika između standardne devijacije i standardne pogreške

Uvod Standardna devijacija (SD) i standardna pogreška (SE) naizgled su slična terminologija; međutim, konceptualno su toliko raznoliki da se koriste

Razlika između HSV 1 i HSV 2

HSV 1 vs HSV 2 Virus herpes simplex jedan je od najčešćih virusa pronađenih u svijetu. To je ujedno i jedna od najčešćih spolno prenosivih bolesti.